〈{1，2，3，4}，5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？ 给定代数结构〈I，+，〉，定义I上的二元关系R 是N3上的等价关系。若R 关于 +3 具有代换性 关于3也一定具有代换性质。求出N3 价关系S，使其关于3具有代换性质，但关于 +3 不具有代 换性质。 在以下给出的N上的关系R a－b是偶数。 10整除a－b。 中不存在有左逆元的左零元。 a0a0 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。 定理 －1推论 且=1，则ab的阶为mn。 定理 有限群〈G，*〉的每个元素的阶为有限的，并 且不超过 均有a2 当对任意a，bG，均有(ab)2 a2b2。 均有(ab)3 ba5。证明abba。 证明有限多个群的积代数结构仍是群。10. 和b1ab的阶相同； ab和ba 的阶相同； abc，bca和cab 的阶相同。 11. 有限群中阶大于2 的元素个数必为偶数。 12. 为素数。13. 〈Nm，＋m〉中某元素的阶。14. 求下列群中每个元素的 b1H。定理 关于G的二元运算封闭，则HG。 定理 G2的群同态，ei 为Gi 阶相同。习题 设H1和H2 的子群，证明H1H2也是G 的非空子集，并且H中每个元素的阶都 有限，则H 的子群的充分必要条件是H关于G 的乘法封 均为群G1到G2 的群同态，令 证明H是G1 的子群。
HK和KH 的子群。aHa1称为H 的共轭子群。 10. 称为H的正规化子。 11. 的同构。证明G的所有自 同构的集合关于函数的合成运算构成群。 12. 的子群，aG。证明存在最小正整数m 使amH，且m 的因子。13. 的子群。证明：如果amH 求下列置换：1a) 21b) 42341234 43 52631c) 1123456e)2165344 1a)61b) 21c) 824341425455576 567 736789 35164. 除么元外，每个元素的阶都是 的四阶群称为克莱因四元群。 找出克莱因四元群的所有子群； 指出下列群是否为循环群？若是循环群，则给出其一个生成元： 的阶为素数p且a(b)。证明 任一无限群必有无穷多个子群。10. 证明循环群的子 群必为循环群。 11. 证明无限循环群恰有两个生成元。 12. 无限循环群的子群除{e}外均为无限循环群。 13. 设存在代数结构〈G，〉到〈G′，*〉的满同态，如果〈G，〉 是循环群，则〈G′，*〉也是循环群。 14. 是无限循环群，G′是任意循环群。证明存在G到G′的满同态。
定理 如果H 是有限群G 的子群，则＃H 整除 ＃G，并且 推论1有限群G 的每个元素的阶整除G 推论2 关于H的陪集关系R 是群G1到G2 的群同态，集合 eG2}称为 的同态核，记为Ker f，其中 eG2 定理设f：G1 G2i) Ker G１ii) {eG1}定理 是群〈G1，〉到〈G2 ，*〉的群同态， 则商群〈G1 Kerf，〉同构于〈 f［G１］，* 这只是定理 定理 iii)HK iv)如果KG kh。定理 HK/H。定理 为素数，证明pn阶群必有p 阶子群。 证明指数为2的子群必为不变子群。 求〈N24，+24〉的6阶子群H 及N24 关于H 的商群。 是否必为G的不变子群？证明 或举出反例。 是两个不同的素数，G为pq 换群。证明G是循环群。 证明存在从m阶循环群G1 是循环群G的子群，证明 也是循环群。11. 的不变子群，且＃H=2。证明HC 的子群，且G只有一个阶为n 的子群。证明H 的不变子群。13. 的子群，如果H 的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则H 的不变子群。14. 为pq阶的群。证明G 阶子群必为不变子群。16. 的不变子群。并且若G/H 是循环群，则G 是交换群。
