秘密武器:第六章-环与域

01/18 10:59:23 来源网站:辅助卡盟网

定义:给定代数系统,其中+和都是二元运算,如果满足以下条件 (1)是交换群。 通常将+称为环中的加法运算,称为环中的乘法运算。加法群中的幺元用0表示,a的加法逆元用-a表示。若中 存在幺元,用1表示,若a的乘法逆元存在,则用a -1 表示。 (1)整数集、有理数集和实数集关于普通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z、有理数环Q和实数环R。 (2)系数属于实数的所有多项式组成的集合记为R[x],那么 R[x]关于多项式的加法与乘法构成环。 (3)元素属于实数的所有n阶矩阵组成的集合关于矩阵的加 法与乘法构成环。 (4)模m的剩余类集合Z 构成一个环,叫作剩余类环。定理: 证明(1)因为a0+a0=a(0+0)=a0=a0+0卡盟,所以由消去 律可得a0=0。同理可证,0a=0 abac baca abab =ba-ca。定义: 给定环,则 (1)若是可交换半群,称是可交换环。 (3)若满足幂等律,称是布尔环。定理:设R为有单位元的环,且不只含一个元素,则1不等于0 反证法:若1=0,则a=a*1=a*0=0 零因子:若存在a、bS且a0、b0满足ab=0,称环为含零因子环, 不为素数,则Z中必存在零因子 0,于是a(x-y)=0,因而x-y=0,即x=y。

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另一式:xa=yax=y同理可得。 整环:有单位元无零因子的交换环是整环例:对于剩余环有幺,可交换,且无零因子(群有消去律,由前面定理知:有消去律无零因子)。 推论有限整环必定是域。 推论:设P为素数,则是环,T是S的非空子集。若T关于+ 和运算也构成环,则称为的子环。 例:整数环Z、有理数环Q都是实数环R的子环。{0}和R 也是实数环R的子环,称为平凡子环。 定理:(子环判定定理)设是环,T是S的非空子 是的子环。例:偶数环2Z 是整数环Z的子环 定义:设为的子环,若对于T中 为环的理想。定理:给定环,T是S的非空子集,则为环的理想,其中(i)={ni|nZ}。其中,+和是普通的加法和乘法。 证明 对任意的mi、ni(i)及kZ,则mi-ni=(m-n)i(i), (mi)(ni)=(mni)i(i),k(ni)=(kn)i(i)。所以,为环的理想。 定义:(1) 设为环的理想,若在T中 环的主理想,并称g为的生成元或称由g生成。 (2)设R是一个整环,如果R的每个理想都是主理想, 则称R为主理想整环 使得L=(i)。即的每个理想都是主理想。证明 显然Z=(1),{0}=(0),因此两个平凡理想和都是主理想。

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令为的任一真理想证明布尔环是可换环,i为L中最小 正整数,下证L=(i)。 因为为的理想且iL,所以对 于任意ni(i),有niL,故(i)L。 为qi、kL,由理想的定义得r=k-qiL。考虑到i为L中的最小正整数和0r<i,则r=0。故k=qi(i)证明布尔环是可换环,因此L(i)。 综上可得,L=(i)。所以,是 的主理想。 (2)如果中非零元素的周期为有限数p,则p必为素数 定理:设S是F的子域,则S与F具有相同的特征 故1在F中的周期为p,且p|n,又因为F的特征为p,所以,p为素数 定理:若域的特征为素数 中必存在与同构的子域 证明:设 因为的加法周期为 为同构由于 是域,所以 neme 与有理数域Q同构的子域证明:用e标识F的单位元 练习证明在特征为 的有限域 中,映射

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